Dominik Veselovský a csehországi Plzeň városában született, de Draskócvölgyben (Dražkovce) nőtt fel. A szomszédod Turócszentmártonban ismerkedett meg a sportág alapjaival, a helyi MŠK-ból azonban már nyolcévesen Rózsahegyre távozott. 2018 nyarán lett a Dunaszerdahely játékosa, ahol a DAC U17-es korosztályos együttesében kezdett el futballozni. 2019 tavaszán immár a tizenkilenc éven alatti gárdában szerepelt, emellett a felnőttcsapat edzésfolyamatába is bekapcsolódott. 2019 júliusában aláírta pályafutása első professzionális szerződését, amely három évre szólt, ezt később 2024 nyaráig meghosszabbította. 2019 őszén első rajtait gyűjtötte a Fortuna Ligában (debütálása időpontjában 17 éves és 2 napos volt, ezzel ő lett a DAC történelmének legfiatalabb az élvonalban pályára lépő futballistája) és az Európa-ligában. Múlt héten a Cliftonville ellen szerzett találatával ő lett a DAC legfiatalabb gólszerzője az európai kupaporondon. A Fortuna Ligában eddig 17 alkalommal, az európai kupaszíntéren négyszer lépett pályára, a Slovnaft Cup-ban pedig 3/1 a mérlege. A korosztályos válogatottak tagja is volt, legutóbb az U19-esé.